一、奇妙的「8 字舞」

　　请听题：正午 12 点太阳在什么方向？

　　你也许会不假思索地回答：「当然是在南边啦！」你也有可能开始思考我的问题里有没有什么陷阱，比如如果你在南半球，太阳就是在北边的；再比如你可能想到了「地方时」和「区时」的差别，甚至还有「夏令时」……不过这些都不是我出题的意图。我现在把问题这样问：在地方时的正午 12 点，太阳一定在正南—正北这条线上吗？

　　这时你开始糊涂了：难道太阳还能偏东或者偏西不成？没错！曾经有人在每天正午 12 点，在固定的位置、固定的角度拍摄一张太阳的照片，坚持了一年的时间。把这些照片重叠在一起，就可以看到「正午的太阳」在一年中移动的轨迹，如下图。哇！居然形成了一个 8 字哎！

（图 1.1：北半球某处正午的日行迹，截图自视频 https://www.youtube.com/watch?v=KRFXWB2dGcU）

　　这个 8 字的学名叫做「日行迹」（analemma）。它的小头朝北，是夏至日太阳的位置；大头朝南，是冬至日太阳的位置。在一年中，太阳的位置按箭头方向移动，例如箭头附近就是太阳在 10 月的位置，10 月底、11 月初太阳偏西厉害；反之，2 月时偏东是厉害的。

画外音：
　　甲：为什么图上标的方向是「上北下南左东右西」呢？地图上不都是「上北下南左西右东」呢？
　　乙：废话，你说的是「地」图，现在我们在看「天」上！

　　日行迹并不仅仅指正午太阳位置的轨迹。事实上，在每天的任意固定时刻拍照，都能得到日行迹的 8 字形。例如题图就是在北半球每天上午固定时刻拍摄而得的。这个 8 字形看起来是斜的，是因为它整体位于天空的东侧，你朝东看的时候，左边就是北，所以小头向左倾斜啦。类似地，下面这张图是在南半球每天下午固定时刻拍摄的日行迹，它的小头是朝下且向右倾斜的。

（图 1.2：南半球某处下午的日行迹，图片源地址：http://wwwcdn.skyandtelescope.com/wp-content/uploads/2016-05-20_573e9ccc9264e_Analema_2013-2014_1_1000px.jpg）

　　8 字形的长度大约是宽度的 6 倍。因为 8 字形在天上，所以它的大小不太好用长度单位（如「米」）来衡量，不过可以测量的是它的上下或左右两端与地面上的观察者连线的夹角。8 字形的长度对应的夹角约为 47 度，它是地轴倾角（亦即回归线的纬度，约 23.5 度）的两倍；8 字形的宽度对应的夹角约为 7.5 度。

　　8 字形的宽度还可以用时间来衡量，这个时间就是日晷与钟表的时间差。设想在 2 月的一天中午，一块显示地方时的钟表指向了 12 点。由于太阳偏东，此时日晷的阴影，离 12 点的刻度还有一段距离。那么日晷比钟表慢了多少呢？太阳偏东的角度约为 3.75 度，日晷和钟表的时间差，就是太阳转过这 3.75 度（其实是地球自转）所需的时间。地球自转的角速度是 24 小时一圈（360 度），即每 4 分钟 1 度，所以日晷比钟表慢了大约 15 分钟。相应地，在 11 月初，日晷就会比钟表快 15 分钟，我们就也可以说 8 字形的宽度约为 30 分钟。日晷和钟表的时间差称为「均时差」（equation of time），它在一年中的变化如下图所示，你可以试试看能不能把它与 8 字形对应起来。

（图 1.3：均时差，图片来自维基百科）

　　说了这么多，为什么太阳会一会儿偏东，一会儿偏西呢？为什么偏移的结果又是这样奇妙的 8 字形呢？这篇专栏的下一节，就来解释 8 字形的成因。在第三节，我会定量地估算 8 字形的宽度，对数学不感兴趣的读者就可以略过啦。

二、8 字形成因的定性解释

　　先来看一下地球绕太阳公转的图示。假设在地球位于 A 点时，地面上有一个小人看到太阳在正南（或正北）方向，此时小人所在地点的地方时为正午 12 点。一天之后，地球公转过角度（这个应该略小于 1 度，图中进行了夸张），到达了 C 点，小人又看到太阳在正南（或正北）方向了。在这一天内，地球自转过的角度其实并不是 360 度，而是 360 度加，这样小人才能对准太阳。

（图 2.1：地球公转角速度波动导致太阳偏移示意图）

　　如果由于某种原因，在这一天内地球公转快了，转过的角度大于，到达了 D 位置。注意地球自转过的角度还是，于是小人就会看到太阳偏东了。相反，如果公转慢了，转过的角度小于，只到达了 B 点，小人就会看到太阳偏西。需要注意的，这个「偏东」「偏西」是相对于前一天来说的，更准确的总结应该是：公转快了，太阳东移；公转慢了，太阳西移。

画外音：
　　甲：太阳不是东升西落吗？转得快了不应该西移吗？
　　乙：太阳东升西落是地球自转的效应，你让地球不要自转，就会发现公转的效果是西升东落的（周期为一年）！

　　地球每天绕太阳转过的角度，还真不是恒定的。有两个因素会导致这个角速度的波动，它们共同造就了 8 字形的日行迹。下面就依次分析这两个因素。

2.1 地球公转轨道的离心率

（图 2.2：地球公转的椭圆轨道示意图）

　　地球公转轨道其实并不是一个正圆，而是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上 —— 这是开普勒定律的内容。每年 1 月初，地球离太阳近；而 7 月初，地球离太阳远。

画外音：
　　甲：为什么地球离太阳近的时候反倒是冬天？
　　乙：那是因为太阳直射南半球，所以北半球冷。公转轨道是椭圆对季节的影响可以忽略不计。孰谓汝多知乎！

　　而开普勒第二定律则告诉我们，地球与太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。所以，地球经过近日点时公转就快，经过远日点时公转就慢了。在 10 月初到 4 月初这段时间，地球的公转角速度大于平均值，太阳就会越来越偏东，到 4 月初到达东；在 4 月初到 10 月初这段时间，地球的公转角速度小于平均值，太阳就会越来越偏西，到 10 月初到达西。如果仅考虑公转轨道是椭圆这一个因素，日行迹将是如下图所示的一个椭圆形，太阳在上面顺时针移动：

（图 2.3：仅考虑地球公转轨道的离心率时，形成的椭圆形日行迹）

2.2 地轴倾角

　　上面所有的示意图都忽略了地轴的方向，而地轴的方向对正午太阳的位置也有影响。地轴跟公转轨道面并不是垂直的。很多教科书上为了表示出这一点，会把地轴倾斜着画：

（图 2.4：地轴倾角示意图）

然而我在这里还是把地轴画成竖直的，而把公转轨道面倾斜过来：

（图 2.5：另一种地轴倾角示意图）

　　图中，我画出了一条经过太阳，且与地轴平行的虚线。造成太阳东西偏移的原因，是地球绕这条轴运动的角速度的波动。在这一小节我们不再考虑地球公转轨道的离心率，认为地球公转的线速度是恒定的。在夏至、冬至的时候，地球距轴较近，所以角速度会偏大；在春分、秋分的时候，地球距轴较远，并且其线速度还有一个沿轴的分量，绕轴的角速度就更小了。于是，在冬夏两季，太阳会越来越偏东；在春秋两季，太阳会越来越偏西。这会形成一个两头一样大的 8 字形日行迹，太阳在上面按「8」字的正常书写方向移动，如下图所示：

（图 2.6：仅考虑地轴倾角时，形成的两头等大的 8 字形日行迹）

2.3 两个因素的综合

　　现在把两个因素综合考虑。观察公转轨道的离心率形成的椭圆形日行迹，以及地轴倾角形成的 8 字形日行迹，可以发现，在冬至处，太阳的移动方向是一致的，而在夏至处，太阳的移动方向相反。若不定量计算，其实我们并不知道两个日行迹叠加后，夏至处太阳的移动方向到底朝哪边。如果离心率的效应较大，那么夏至处太阳就是向右移动的，叠加出的日行迹就是「植物大战僵尸」中土豆的形状；如果地轴倾角的效应较大，那么夏至处太阳就是向左移动的，叠加出的日行迹就是两头不一样大的 8 字形。实际的观测告诉我们，后一种才是实际情况。

（图 2.7：两种日行迹叠加的两种可能结果）

三、8 字形宽度的定量估算

3.1 公转轨道离心率的效应

（图 3.1：地球公转的椭圆轨道示意图，与图 2.2 相同）

　　开普勒第二定律说，地球与太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。如图，若地球与太阳的瞬时距离为，公转的角度为，那么单位时间内扫过的面积就是。开普勒第二定律说这是个常数，也就是说与成反比。

　　设椭圆形公转轨道的离心率为，目前它的值为。离心率的定义是半焦距与半长轴的比值，于是地球到太阳的小距离与大距离之比就是。由可知，公转角速度的大值与小值之比就是，在很小时可以近似为。公转角速度波动的具体函数形式可能很复杂，但我们可以用余弦函数来近似，这个余弦函数的波动幅度与平均值之比为。

（图 3.2：地球公转轨道离心率造成的公转角速度波动）

　　上图画出的是在一年内，公转轨道离心率造成的公转角速度波动图。在一、四两个季度，公转角速度大于平均值；在二、三两个季度，公转角速度小于平均值。在季度，公转角速度超出平均值的那部分积累起来的效应（图中双阴影部分），就是椭圆形日行迹的宽度的一半。在一个季度内，按平均公转角速度转过的角度应该是 90 度（图中单阴影部分）。按照比例，双阴影部分的外接矩形与单阴影部分的面积比应该是；如果你学过微积分，就可以知道双阴影部分本身与其外接矩形的面积比是。这样，双阴影部分的面积，即椭圆形日行迹的半宽度就是。按照「1 度等于 4 分钟」的换算关系，可以算出公转轨道离心率造成的大均时差为 7.6 分钟。维基百科上给出的准确值为 7.66 分钟，我们的估算误差不到 1%。

3.2 地轴倾角的效应

（图 3.3：地轴倾角示意图，与图 2.5 相同）

　　如图，经过太阳作一条与地轴平行的轴，造成太阳东西偏移的原因是地球绕这条轴运动的角速度波动。根据上一小节的经验，我们关注这个角速度的大值与小值之比，其大值在夏至、冬至处取得，而小值在春分、秋分处取得。设地球公转的线速度为，日地距离为，地轴倾角为。在夏至、冬至处，地球到轴的距离为，故角速度为。在春分、秋分处，地球到轴的距离就是，但线速度与轴不垂直，其中绕轴旋转的分量只有，故角速度为。这样，角速度的大值与小值之比就是，其波动幅度与平均值之比约为。

（图 3.4：地轴倾角造成的公转角速度波动）

　　一年内地球绕轴的角速度波动如上图所示，这个波动的周期只有半年。这个波动形成的两头等大的 8 字形日行迹的半宽度同样也是双阴影部分的面积，其值为。同样按照「1 度等于 4 分钟」来换算，地轴倾角造成的大均时差为 9.74 分钟。维基百科上给出的准确值为 9.87 分钟，我们的估算误差也仅有 1.3%。

3.3 两个因素的综合效应

　　把两个因素综合起来考虑时，我们关注两件事情：一是叠加后的日行迹是土豆形还是 8 字形，二是 8 字形的两头宽度分别有多大。

　　在 2.3 小节已经分析过，叠加后的日行迹是土豆形还是 8 字形，取决于夏至时，公转轨道离心率造成的太阳西移的速度，跟地轴倾角造成的太阳东移的速度哪个更大。从图 3.2 和 3.4 中可以读出，前一种效应的大小略小于，后一种效应的大小约为，后者较大，所以在叠加后的日行迹的夏至处，太阳应该东移，日行迹呈两头不等大的 8 字形。

　　为了计算 8 字形各处的宽度，我们试着做出均时差在一年中的变化曲线。均时差是公转角速度相对其均值的偏移量的累积效应，用数学语言说，就是图 3.2 和 3.4 中两条曲线减去均值后再积分。积分的结果是下图中的两条虚线。两条虚线的频率不同，其波峰和波谷也不对齐，所以叠加后的曲线（红色）并不规则。红色曲线上有一个比较大的波峰（2 月中、+14 分钟）和一个比较大的波谷（11 月初、-16 分钟），它们是 8 字形大头的东端和西端，大头的宽度为 30 分钟，或 7.5 度。红色曲线上还有一个比较小的波峰（7 月底、+6 分钟）和一个比较小的波谷（5 月中、-4 分钟），它们是 8 字形小头的东端和西端，小头的宽度为 10 分钟，或 2.5 度。

（图 3.5：均时差的两个分量，图片修改自 https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time#/media/File:Zeitgleichung.png）