上篇讲到,在 维空间里的 维超球面上随机、均匀地选取 个点,它们位于同一个半超球面的概率等于一个分数,其分母等于 ,而分子是 个过超球心的 维超平面把超球面切成的块数。我们仅考虑这 个超平面处于一般位置的情况,因为特殊位置(比如它们在超球面上交于同一点)的概率都是 0。
把这个块数记为 。我们已经数出来了:
● 在二维情况下, 条直径会把圆周切成 块;
● 在三维情况下,3 个大圆面会把球面切成 块;
但是,在数 的时候遇到了困难,因为图形已经难以观察了。在更高维的情况下,想靠手工的「数」就更不可能了,必须要想办法「算」。
这回我们从一维开始。一维空间,就是一条直线;其中的「0 维超球面」,就是与「超球心」等距的两个点。而用来分割这两个点的「0 维超平面」,就是「超球心」这个点本身。可以看到,不管怎么切,「0 维超球面」永远是分成两块儿的,所以有
现在来到二维。二维空间中,一条直径可以把圆周切成两块,所以 。之后每加一条直径,都会把已经切出的某两块进一步一分为二,所以会多出两份来,即:
加的这个 2 其实有讲究,只是我们暂时还看不出来。
现在进入三维。如下图 4.3,三维空间中,一个大圆面(红圈所在平面)可以把球面切成两块,所以 。再增加一个大圆面(绿圈所在平面)时,会发生什么呢?新增的大圆面本身确定了一个二维空间。球面与这个二维空间的交集,就是绿圈这个圆周;之前已有的一个大圆面(红圈所在平面)与这个二维空间的交集,是一条直径(虚线)。绿圈被这条直径切成了 段,而其中的每一段,又把球面上的一块给一分为二了。所以,引入第二个大圆面时,会让球面被切成的块数增加 ,即:
两个大圆面把球面切成了 4 块。那再加入第三个大圆面时呢?如下图 4.4,新增的大圆面(蓝圈所在平面)与已有的两个大圆面交于两条直径,这两条直径把蓝圈切成了 段,其中每一段都会把球面上的 4 块进一步一分为二。所以有:
终于可以计算 了。第四个大圆面的圆周(黄圈),被三条直径切成了 段,它们会把球面上的 6 块进一步一分为二,即:
上面的递推过程,也可以推广到高维。一般地,在 维空间中加入第 个超平面时,超球面与这个超平面的交集,会被之前的 个超平面切成 块,其中的每一块,会把超球面上的某一块进一步一分为二。所以有:
我们可以回头看一下二维情况。二维里的递推式为 ,其中的 2,其实是 。怎么理解呢?二维空间里新增的一条直径,本身确定了一个一维空间,这个一维空间里的「超球面」(即两个点)被原有的 条直径分割成了 个点,每个点会导致二维空间中的圆周被多切出一块来。
根据 的递推式,我们可以很容易地推出一些项来:
比如,在 4 维空间中,6 个超平面可以把超球面切成 块,所以超球面上 6 个点位于同一个半超球面的概率为 。
现在我们有了 的递推式,剩下的就是求通项了!求通项的方法有很多,比如多项式拟合、z 变换等,但我发现容易的方法,就是直接观察上面的递推表。
就以 这一项为例。它等于左边一列中 22 与 30 的和。而 22 与 30,又分别是再左边一列中 8 与 14、14 与 16 的和,其中 14 被算了两遍。再往左推一列,就是 2、6、8、8 的和,它们分别被算了 1、3、3、1 遍 —— 有没有看出,1、3、3、1 就是 的展开式系数,也是杨辉三角中的一行呢?
一直往左推,直到推到列。出界没关系,界外的元素全当成 0 就可以了。不难看出, 可以拆成列中四个 2 和两个 0 的和,它们的系数分别是 。忽略 0,只保留 2,可以得到:
用上面的观察法,可以得到 的通项:
于是,在 维空间中的 维超球面上随机、均匀地选取 个点,它们位于同一个半超球面上的概率就是:
我们终于解决了「小黄鸭」问题在任意维空间中的推广版本!
后的概率公式有一些值得注意的特殊情况:当 时,所有二项式系数都齐全,概率等于 1;当 时,二项式系数恰好有一半、缺一半,概率等于 。