对比上篇的文章，通常对于数值型的操作，通常可以用数值的本身来反映问题的规模。对于大多数的关于数组或者vector的算法，通常参与运算的数的多少本身就代表了问题的规模。在评估算法效率过程中，我们通常用字母N来表示问题规模的大小，当N逐渐增大时，N与算法性能之间的关系称为算法复杂度（The relationship between N and the performance of an algorithm as N becomes large is called the computational complexity of that algorithm）。

通常，算法重要的性能指标就是执行时间，尽管算法分析的时候，也要考虑到运行时所需的内存空间，但是因为随着科技的发展，现在的空间已经不是首要的考虑因素。所以我们考虑问题首先考虑时间复杂性。 通常我们使用一种称为大O符号的特殊速记符号来表示算法的计算复杂度。该符号是德国数学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在1892年前在计算机开发之前提出的。符号本身很简单，由字母O组成，后跟括号括起来的公式。当用于指定计算复杂度时，公式通常是涉及问题大小N的简单函数。比如下面的表示方法：

记为O（N^2),(英文读作：big-oh of N squared)

Big-O的简化

使用大O符号来估计算法的计算复杂度时，其目的是提供一个对问题的定性观察，以便观察当N中的变化（如N变大）是怎么影响算法性能的。因为大O表示法并不是一个量化措施，所以要简化括号内的公式，以便以简单的形式捕获算法的定性行为。使用big-O表示法时可以使用的常见的简化如下：

1. 去除当N变大时，任何对算法性能的影响不再显著的部分（Eliminate any term whose contribution to the total ceases to be significant as N becomes large）。当一个公式涉及多个部分时，其中一个部分通常比其他部分增长得更快，并且随着N变大而终导致影响整个表达式。对于N值较大的值，此部分单独控制算法的运行时间，你可以完全忽略公式中的其他部分。（类似求极限，N->无穷，可以忽略低次幂部分）。

2. 去除常数因素。（Eliminate any constant factors.） 当计算复杂度时，主要关注的是运行时间如何随着问题大小N的变化而变化。常数因子对整体模式没有影响。

例如：

可以简化为：

此表达式抓住了选择排序的性能的本质。随着问题的大小增加，运行时间的增长趋向于问题规模的平方。 因此，如果你将vector的大小加倍，则运行时间将增加四倍。如果你将输入值的数量乘以10，则运行时间将会增加100倍。

计算算法复杂度

根据之前的算法，算法的复杂度肯定是越小越好的。那么如何从代码中降低算法的复杂度呢？ 我们先看一段代码，这段代码是用来求vector中的数据的平均值的：

double average(vector<double> & vec) {
    int n = vec.size();
    double total = ;
    for (int i = ; i < n; i++) {
    total += vec[i];
}
    return total / n;
}

现在我们来分析一下这个算法的复杂度。 当调用此函数时，代码的某些部分只会执行一次，例如初始化total为0，并在返回语句中进行除法运算。这些计算需要一定的时间，但是他们不依赖于vector大小的意义上（即无论vector多大，他们运行的时间和次数都是确定的），运行时间是恒定的。对于这种执行时间不依赖于问题大小的代码被称为常数时间（constant time），以大O表示法表示为O（1）。 有些人可能会对O（1）的心存疑惑，因为O记法是要依赖于N的。但是实际上，这种不依赖于N的符号，是O（1）符号的整体。因为增加问题的大小时，这部分代码的运行时间根本不增加（因为它是确定的，就像数学函数中的Y = 1的一条线，它斜率为0，表示随着问题规模的增大，运行时间不变。）。

现在再来分析一下for循环里面的语句：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    total += vec[i];
}

对于for循环来说，的每个循环都是执行 一次。这些部分包括在for循环语句中的表达式i ++还有下面的语句,它们构成循环体：

total += vec[i];

虽然这里这部分操作的每执行一次执行都花费了固定的时间t（假设这部分操作为 i 自增一次，total加一次），那么具体要执行多少次就由for循环中的n决定。也就是说这些语句执行n次的意味着它们的总执行时间T与vector的大小N成正比。也就是T = O（tN），根据大O记法，这里应该省略常数。即该函数的算法复杂度为O（N），这种复杂度通常称为线性时间（linear time）。

当然我们还可以通过查看代码的循环结构来估算算法复杂度。在大多数情况下，单个表达式和语句，除非它们涉及必须单独考虑的函数调用，否则会在固定的时间里运行。在计算复杂性方面重要的是这些语句的执行频率。对于许多程序，可以通过找到常执行的代码片段来确定计算复杂度，并确定其作为N的函数被执行了多少次。 例如在average函数的情况下，循环体是执行n次 因为代码的任何部分都不会比这更频繁地执行，所以我们可以预测计算复杂度将为O（N）。 这个时候我们可以用同样的方式对选择排序函数进行分析。代码中常执行的部分是语句中的比较两个数的大小：

if (vec[i] < vec[rh]) rh = i;

该语句嵌套在两个for循环中，并且都受N的值的限制。内循环运行的次数跟外循环一样频繁，也就意味着内循环中的语句的运行时间为O（N^2）.