高等数学——微积分中简单的不定积分

2020-03-23 15:39:16

今天是高等数学专题的第8篇文章，今天的内容是不定积分。

我之前的高数老师曾经说过，高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中，积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多，而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式，原因也很简单，当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候，大量使用了微积分作为工具。这也是我们必须学它的原因。

原函数

我一直都觉得微积分这个名字起得很好，微积分是微分和积分的合称。微分是通过宏观研究微观，而积分恰恰相反则是通过微观获取宏观。因此从某种意义上来说，我们可以将积分看成是微分的反面。

微分对应的是极限，在函数当中，我们通过让趋近于0研究函数的变化情况。当趋向于0时，我们获得的函数变化率就是函数的导数，这也是导数公式的由来：

我们从微分的角度来看积分，也就是说我们来逆向思考这个过程。如果说我们获得的导数是，那么求导之前的函数f(x)会是什么呢？在这个问题当中，求导之前的函数称为原函数，我们写成F(x)，如果F(x)是f(x)的原函数，那么它应该满足对于任意的，都有。

比如说因为的导数是2x，所以是2x的一个原函数。

函数和原函数的关系我们清楚，但是为了严谨，我们还需要思考一个问题，原函数一定存在吗？

这个问题看起来很绕，其实很容易想通，如果函数连续，那么原函数一定存在。高数书上说这个是原函数存在定理，但是连一句话证明也没有，可想而知它基本上已经被当成是公理了。我们来简单分析一下，如函数f(x)连续，也就是说原函数的导数存在并且连续。我们知道连续不一定可导，可导一定连续。现在导函数存在并且连续了，那么说明原函数一定连续。如果函数不存在怎么连续呢？所以当前函数f(x)连续，说明它的原函数F(x)一定存在。