来源： https://www.cnblogs.com/NoneID
整理：李肖遥
1. 什么是平衡二叉树
平衡二叉树，我们也称【二叉平衡搜索树/AVL】,树中任何节点的两个子树的高度大差别为1，巴拉巴拉。。。(https://baike.baidu.com/item/AVL树/10986648?fr=aladdin)
但是有个注意的点: 平衡二叉树的前提是 二叉排序树(https://baike.baidu.com/item/二叉搜索树/7077855?fr=aladdin)
这篇博客主要总结平衡二叉树，所以，二叉排序树知识不会提及，但是会用到。
如果想要看 排序二叉树调整为 平衡二叉树 旋转相关内容的，调整至 第5节。
平衡二叉树
非平衡二叉树
小不平衡子树节点为 130
左子树深度为 1，右子树深度为3 ，其差值大于1，所以不平衡
2. 如何判断二叉树小不平衡子树
小不平衡子树为 130 这颗子树(黄色标注)
判定小不平衡子树的关键就在于，判断 这棵树的左子树 和 右字数 深度之差是否大于1，若大于1 ，则证明该树不平衡
检查二叉树是否平衡函数代码实现
typedef struct {
int data; // 数据节点
struct TreeNode *left; // 指向左子树
struct TreeNode *right; // 指向右子树
} TreeNode , *PTreeNode;
// 记录平衡二叉树
bool BalanceTrue = false;
// 小不平衡子树地址
TreeNode *rjt = NULL;
// 检查二叉树是否平衡，若不平衡 BalanceTrue 为 true
int checkTreeBalance(TreeNode *root) {
if (NULL == root) { return ; }
int x = checkTreeBalance(root->left);
int y = checkTreeBalance(root->right);
// 若检测到小不平衡二叉树后，不进行后面的检查
if (BalanceTrue) return ;
int xx = abs(x-y);
if (xx > 1) {
// 左子树 和 右子树 相差大于1 ， 二叉树不平衡
BalanceTrue = true;
rjt = root;
}
return (x>y?x+1:y+1);
}
程序执行结果
# gcc -w -g -std=c11 BalanceTree.c
#
# ./a.out
当前二叉树遍历
前序遍历: 580 130 80 160 150 158 210 1590 900 2100 1900
中序遍历: 80 130 150 158 160 210 580 900 1590 1900 2100
二叉树不平衡，不平衡子树根节点为: 130
#
3. 二叉树不平衡情况
在一颗平衡二叉树的前提下，插入和删除一个节点，都有可能会引起二叉树不平衡，不平衡的情况主要有以下四种
左左更高
左右更高
右左更高
右右更高
4. 判断不平衡二叉树哪边高
如上图红色所示，可以先根据小不平衡二叉树左子树或者右子树高，上图所示，为右子树高，则将小不平衡二叉树的右子树作为树根节点，继续判断子树的左子树或者右子树高。
比如上图的结果是右左较高，若进行调整的话，为 先让不平衡子树右节点的树先向右旋转，然后再向左旋转。
判断不平衡二叉树哪边高代码实现
typedef struct {
int data; // 数据节点
struct TreeNode *left; // 指向左子树
struct TreeNode *right; // 指向右子树
} TreeNode , *PTreeNode;
// 记录平衡二叉树
bool BalanceTrue = false;
// 小不平衡子树地址
TreeNode *rjt = NULL;
// 返回二叉树树高
int treeHeight(TreeNode *root) {
if (NULL == root) return ;
int ll = treeHeight(root->left);
int rr = treeHeight(root->right);
return (ll>rr?ll+1:rr+1);
}
int main() {
/* 构建二叉树
判断平衡，获取小不平衡子树， 将数据存入 rjt 中
输出二叉树 前序/中序
*/
if (BalanceTrue) {
printf("二叉树不平衡，不平衡子树根节点为: %d\n",rjt->data);
} else {
return ;
};
int ll = treeHeight(rjt->left);
int rr = treeHeight(rjt->right);
if (1 < ll - rr) {
printf("左子树高\n");
TreeNode *rjt_ll = rjt->left;
int child_ll = treeHeight(rjt_ll->left);
int child_rr = treeHeight(rjt_ll->right);
if (child_ll > child_rr) {
printf("左子树更高\n");
} else if (child_rr > child_ll) {
printf("右字数更高");
}
} else if (1 < rr - ll) {
printf("右子数高\n");
TreeNode *rjt_rr = rjt->right;
int child_ll = treeHeight(rjt_rr->left);
int child_rr = treeHeight(rjt_rr->right);
if (child_ll > child_rr) {
printf("左子树更高\n");
} else if (child_rr > child_ll) {
printf("右字数更高");
}
}
return ;
}
输出
# gcc BalanceTree.c -w -g -std=c11
#
# ./a.out
当前二叉树遍历
前序遍历:130 80 160 150 158 210
中序遍历:80 130 150 158 160 210
二叉树不平衡，不平衡子树根节点为: 130
右子数高
左子树更高
#
5. 如何调整平衡二叉树
所谓的旋转，其实是修改指针指向的值，仅此而已。
二叉树不平衡有四种情况
左左更高
原始二叉树，若要调整为平衡二叉树，需要整棵树向右旋转
调整1:整棵树向右旋转
左右更高
原始二叉树，若要调整为平衡二叉树，需要 先让不平衡子树左节点先向左旋转，然后再向右旋转
调整1: 先让不平衡子树左节点的树先向左旋转
调整2: 整棵树向右
右左更高
原始二叉树，若要调整为平衡二叉树，需要 先让不平衡子树右节点的树先向右旋转，然后再向左旋转
调整1: 先让不平衡子树右节点的树先向右旋转
调整2: 整棵树向左
右右更高
原始二叉树，若要调整为平衡二叉树，需要 整棵树向左旋转
调整1: 整棵树向左旋转
全部代码
# include <stdio.h>
# include <stdbool.h>
# include <stdlib.h>
# include <math.h>
typedef struct {
int data; // 数据节点
struct TreeNode *left; // 指向左子树
struct TreeNode *right; // 指向右子树
} TreeNode , *PTreeNode;
// 记录平衡二叉树
bool BalanceTrue = false;
// 小不平衡子树地址
TreeNode *rjt = NULL;
// 检查二叉树是否平衡，若不平衡 BalanceTrue 为 true
int checkTreeBalance(TreeNode *root) {
if (NULL == root) { return ; }
int x = checkTreeBalance(root->left);
int y = checkTreeBalance(root->right);
// 若检测到小二叉树后，不进行后面的检查
if (BalanceTrue) return ;
int xx = abs(x-y);
if (xx > 1) {
// 左子树 和 右子树 相差大于1 ， 二叉树不平衡
BalanceTrue = true;
rjt = root;
}
return (x>y?x+1:y+1);
}
// 返回二叉树树高
int treeHeight(TreeNode *root) {
if (NULL == root) return ;
int ll = treeHeight(root->left);
int rr = treeHeight(root->right);
return (ll>rr?ll+1:rr+1);
}
// 父节点查询
TreeNode* queryTopData(TreeNode *root,int data) {
// 空地址异常抛出
if (NULL == root) return NULL;
// top: 父节点 ，如果为Null, 该节点为父节点
// tmp: 遍历查询节点
TreeNode *top = NULL;
TreeNode *tmp = root;
while (tmp != NULL) {
if (data == tmp->data) {
// 节点为 返回Null
if (NULL == top) return NULL;
return top;
}
top = tmp;
if (data > tmp->data) {
tmp = tmp->right;
} else if (data < tmp->data) {
tmp = tmp->left;
}
}
return NULL;
}
// 左左旋转
//
// 不平衡二叉树
// 70
// / \
// 50 80
// / \
// 40 60
// /
// 30
//
// 旋转后平衡二叉树(向右旋转)
//
// 50
// / \
// 40 70
// / / \
//30 60 80
//
bool turnLL(TreeNode **root , TreeNode *notBalanceRoot) {
if ((*root) != notBalanceRoot) {
printf("左左旋转,非根节点\n");
// 非根节点
TreeNode *lleft = notBalanceRoot->left;
TreeNode *lright = lleft->right;
// 查找父节点
TreeNode *fdata = queryTopData((*root),notBalanceRoot->data);
if (NULL == fdata) return false;
lleft->right = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->left = lright;
if (notBalanceRoot == fdata->left) {
fdata->left = lleft;
} else if (notBalanceRoot == fdata->right) {
fdata->right = lleft;
}
return true;
} else {
// 根节点
printf("左左旋转,是根节点\n");
TreeNode *lleft = notBalanceRoot->left;
TreeNode *absroot = lleft;
TreeNode *lright = lleft->right;
lleft->right = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->left = lright;
(*root) = absroot;
return true;
}
}
// 左右旋转
//不平衡二叉树
// 70
// / \
// 50 80
// / \
// 40 60
// /
// 55
//
//左子树向左
// 70
// / \
// 60 80
// /
// 50
// / \
// 40 55
//
//
// 整棵树向右
//
// 60
// / \
// 50 70
// / \ \
// 40 55 80
//
bool turnLR(TreeNode **root , TreeNode *notBalanceRoot) {
if ((*root) != notBalanceRoot) {
printf("左右旋转，非根节点");
TreeNode *lleft = notBalanceRoot->left;
TreeNode *leftRight = lleft->right;
TreeNode *leftRightLeft = leftRight->left;
// 次调整
leftRight->left = lleft;
lleft->right = leftRightLeft;
notBalanceRoot->left = leftRight;
// 查找父节点
TreeNode *fdata = queryTopData((*root),notBalanceRoot->data);
//if (NULL != fdata) printf("fdata: %d\n",fdata->data);
// 第二次调整
lleft = notBalanceRoot->left;
leftRight = lleft->right;
lleft->right = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->left = leftRight;
if (notBalanceRoot == fdata->left) {
fdata->left = lleft;
} else if (notBalanceRoot == fdata->right) {
fdata->right = lleft;
}
} else {
printf("左右旋转，是根节点\n");
TreeNode *lleft = notBalanceRoot->left;
TreeNode *leftRight = lleft->right;
TreeNode *leftRightLeft = leftRight->left;
// 次调整
leftRight->left = lleft;
lleft->right = leftRightLeft;
notBalanceRoot->left = leftRight;
// 第二次调整
lleft = notBalanceRoot->left;
leftRight = lleft->right;
lleft->right = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->left = leftRight;
(*root) = lleft;
}
}
// 右左旋转
//不平衡二叉树
// 70
// / \
// 50 80
// / \
// 75 88
// \
// 77
//
//左子树向右
// 70
// / \
// 50 75
// / \
// 77 80
// \
// 88
//
//
//
//整棵树向左
// 75
// / \
// 70 80
// / \ \
// 50 77 88
//
bool turnRL(TreeNode **root , TreeNode *notBalanceRoot) {
TreeNode *rright = notBalanceRoot->right;
TreeNode *rightLeft = rright->left;
TreeNode *rightLeftRight = rightLeft->right;
// 次调整
rightLeft->right = rright;
rright->left = rightLeftRight;
notBalanceRoot->right = rightLeft;
// 查找父节点
TreeNode *fdata = queryTopData((*root),notBalanceRoot->data);
//if (NULL != fdata) printf("fdata: %d\n",fdata->data);
// 第二次调整
rright = notBalanceRoot->right;
rightLeft = rright->left;
rright->left = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->right = rightLeft;
if ((*root) != notBalanceRoot) {
printf("右左旋转，非根节点\n");
if (notBalanceRoot == fdata->left) {
fdata->left = rright;
} else if (notBalanceRoot == fdata->right) {
fdata->right = rright;
}
} else {
printf("右左旋转，是根节点\n");
(*root) = rright;
}
}
// 右右旋转
//
// 不平衡二叉树
// 70
// / \
//50 80
// / \
// 75 88
// /
// 85
//
//
//
//向左旋转
// 80
// / \
// 70 88
// / \ /
//50 75 85
bool turnRR(TreeNode **root , TreeNode *notBalanceRoot) {
if ((*root) != notBalanceRoot) {
printf("右右旋转,非根节点");
TreeNode *rright = notBalanceRoot->right;
TreeNode *rleft = rright->left;
// 查找父节点
TreeNode *fdata = queryTopData((*root),notBalanceRoot->data);
if (NULL != fdata) printf("fdata: %d\n",fdata->data);
rright->left = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->right = rleft;
if (notBalanceRoot == fdata->left) {
fdata->left = rright;
} else if (notBalanceRoot == fdata->right) {
fdata->right = rright;
}
} else {
// 右右旋转，是根节点
printf("右右旋转,是根节点\n");
TreeNode *rright = notBalanceRoot->right;
TreeNode *absroot = rright;
TreeNode *rleft = rright->left;
rright->left = notBalanceRoot;
notBalanceRoot->right = rleft;
(*root) = absroot;
}
}
// 二叉树前序遍历
void Print1(TreeNode *root) {
if (NULL == root) return;
printf("%d\t",root->data);
Print1(root->left);
Print1(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void Print2(TreeNode *root) {
if (NULL == root) return;
Print2(root->left);
printf("%d\t",root->data);
Print2(root->right);
}
// 二叉树后续遍历
void Print3(TreeNode *root) {
if (NULL == root) return;
Print3(root->left);
Print3(root->right);
printf("%d\t",root->data);
}
// 插入二叉树节点
TreeNode* addNode(TreeNode *root,int data) {
if (NULL == root) {
// 头节点插入
TreeNode *Node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
if (NULL == Node) {
printf("新节点申请内存失败\n");
return NULL;
}
Node->data = data;
return Node;
}
TreeNode *tmp = root;
TreeNode *top = NULL;
// 找到合适的尾巴节点
while (NULL != tmp) {
top = tmp;
if (tmp->data == data) {
printf("已经存在该节点，节点地址: %p\n",tmp);
return root;
}
if (tmp->data < data) {
tmp = tmp->right;
} else if (tmp->data > data) {
tmp = tmp->left;
}
}
TreeNode *Node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
Node->data = data;
if (NULL == Node) {
printf("申请新节点内存失败\n");
return root;
}
// 链接节点
if (data > top->data) {
top->right = Node;
} else if (data < top->data) {
top->left = Node;
}
return root;
}
// 删除二叉排序树节点
bool DeleteTreeNode(TreeNode **TreeRoot,int data) {
if (NULL == (*TreeRoot)) return false;
printf("删除节点: %d\n",data);
TreeNode *tmp = (*TreeRoot);
TreeNode *top = NULL;
while (tmp != NULL) {
if (tmp->data == data) {
// 叶子节点
if ((NULL == tmp->left) && (NULL == tmp->right)) {
// 叶子节点
if (NULL == top) {
// 仅有根节点的叶子节点
free(tmp);
return true;
} else {
// 其他的叶子节点
TreeNode *lastNode = top;
if (tmp == lastNode->left) {
lastNode->left = NULL;
} else if (tmp == lastNode->right) {
lastNode->right = NULL;
}
free(tmp);
return true;
}
} else {
// 非叶子节点
// 算法为:
// 默认算法为: 1. 当删除该节点时，获取该树右子树左子节点
// 2. 当右子树为空时，此时应该获取左子树右端子节点
if (NULL != tmp->right) {
// 方案 1
TreeNode *tmp2 = tmp->right;
TreeNode *top2 = NULL;
// 找到后一个节点
while (tmp2->left != NULL) {
top2 = tmp2;
tmp2 = tmp2->left;
}
// 删除老的节点
tmp->data = tmp2->data;
// 只有右子树节点 没有左子树节点
if (NULL == top2) {
tmp->right = NULL;
} else {
top2->left = NULL;
}
free(tmp2);
} else {
// 方案 2
TreeNode *tmp2 = tmp->left;
TreeNode *top2 = NULL;
// 找到后一个节点
while (tmp2->right != NULL) {
tmp2 = tmp2->right;
}
// 删除老的节点
tmp->data = tmp2->data;
if (NULL == top2) {
tmp->left = NULL;
} else {
top2->right = NULL;
}
free(tmp2);
}
}
} else {
top = tmp;
if (data > tmp->data) {
tmp = tmp->right;
} else {
tmp = tmp->left;
}
}
}
return false;
}
// 二叉树平衡调整
bool treeBalance(TreeNode **root) {
checkTreeBalance((*root));
while (BalanceTrue) {
printf("二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: %d\n",rjt->data);
TreeNode *tmp;
if (1 < treeHeight(rjt->left) - treeHeight(rjt->right)) {
// 对于不平衡二叉树而言，左子树比右子树高
//
//printf("左\n");
if (rjt->left != NULL) {
tmp = rjt->left;
int ll = treeHeight(tmp->left);
int rr = treeHeight(tmp->right);
if (ll > rr) {
// 对于不平衡子树 左子树 而言， 左子树比右子树高
// 左左旋转
turnLL(root,rjt);
} else {
// 对于不平衡子树 左子树 而言， 右子树比左子树高
// 左右旋转
//
turnLR(root ,rjt);
}
}
} else if (1 < treeHeight(rjt->right) - treeHeight(rjt->left)) {
// 对于不平衡二叉树而言，右子树比左子树高
//
//printf("右\n");
if (rjt->right != NULL) {
tmp = rjt->right;
int ll = treeHeight(tmp->left);
int rr = treeHeight(tmp->right);
if (ll > rr) {
//右左旋转
turnRL(root,rjt);
} else {
//右右旋转
turnRR(root,rjt);
}
}
}
BalanceTrue = false;
checkTreeBalance((*root));
printf("二叉树调整平衡后数据结点:\n");
printf("前序遍历:");
Print1(*root);
printf("\n");
printf("中序遍历:");
Print2(*root);
printf("\n");
printf("\n");
}
}
int main() {
TreeNode *root = NULL;
printf("平衡二叉树插入测试\n");
int nums[] = {65,60,70,55,40,63,69,66,68,77};
int i;
for (i=;i<sizeof(nums)/sizeof(int);i++) {
printf("插入数据: %d\n",nums[i]);
root = addNode(root,nums[i]);
if (NULL == root) {
printf("首节点申请失败");
return -1;
}
treeBalance(&root);
sleep(1);
}
printf("\n当前二叉树遍历\n");
printf("前序遍历:");
Print1(root);
printf("\n");
printf("中序遍历:");
Print2(root);
printf("\n");
//return ;
printf("\n\n平衡二叉树删除测试\n");
for (i=2;i<5;i++) {
DeleteTreeNode(&root,nums[i]);
treeBalance(&root);
sleep(1);
}
printf("\n当前二叉树遍历\n");
printf("前序遍历:");
Print1(root);
printf("\n");
printf("中序遍历:");
Print2(root);
printf("\n");
return ;
}
程序执行结果
# gcc BalanceTree.c -w -g -std=c11
#
# ./a.out
平衡二叉树插入测试
插入数据: 65
插入数据: 60
插入数据: 70
插入数据: 55
插入数据: 40
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 60
左左旋转,非根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:65 55 40 60 70
中序遍历:40 55 60 65 70
插入数据: 63
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 65
左右旋转，是根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:60 55 40 65 63 70
中序遍历:40 55 60 63 65 70
插入数据: 69
插入数据: 66
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 70
左左旋转,非根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:60 55 40 65 63 69 66 70
中序遍历:40 55 60 63 65 66 69 70
插入数据: 68
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 65
右左旋转，非根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:60 55 40 66 65 63 69 68 70
中序遍历:40 55 60 63 65 66 68 69 70
插入数据: 77
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 60
右右旋转,是根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:66 60 55 40 65 63 69 68 70 77
中序遍历:40 55 60 63 65 66 68 69 70 77
当前二叉树遍历
前序遍历:66 60 55 40 65 63 69 68 70 77
中序遍历:40 55 60 63 65 66 68 69 70 77
平衡二叉树删除测试
删除节点: 70
删除节点: 55
删除节点: 40
二叉树不平衡,小不平衡子树数据结点: 60
右左旋转，非根节点
二叉树调整平衡后数据结点:
前序遍历:66 63 60 65 69 68 77
中序遍历:60 63 65 66 68 69 77
当前二叉树遍历
前序遍历:66 63 60 65 69 68 77
中序遍历:60 63 65 66 68 69 77
# ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧ END ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧
