线性回归的原理及Python实现

2023-07-04 09:48:01

提到线性回归相信大家应该都不会觉得陌生（不陌生你点进来干嘛[捂脸]），本文就线性回归的基本原理进行讲解，并手把手、肩并肩地带您实现这一算法。

完整实现代码请参考本人的p...哦不是...github：
regression_base.py
linear_regression.py
linear_regression_example.py

1. 原理篇

我们用人话而不是大段的数学公式来讲讲线性回归是怎么一回事。

1.1 线性方程组

上小学或者中学的时候，很多人就接触过线性方程组了。举个栗子，如果x + y = 2且2x + y = 3，那么3x + 4y = ?。我们可以轻松地得出结论，解线性方程组得到x = 1且y = 1，所以3x + 4y = 3 + 4 = 7。

1.2 超定方程组

对于方程组Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有解，此时称方程组为超定方程组。翻译成人话就是方程组里方程的个数n太多了，比要求解的变量数m还多，这个方程是没办法求出解的。比如x + y = 2, 2x + y = 3且x + 2y = 4，那么我们是无法求出x和y能够同时满足这三个等式的。

1.3 线性回归问题

我们假设公司有n个同事(n = 10000)，他们的年龄为A = [a1, a2...an]，职级为B = [b1, b2...bn]，工资为C = [c1, c2...cn]，满足方程组Ax + By + z = C，我们想求出x, y 和z的值从而预测同事的工资，这样的问题就是典型的线性回归问题。我们有3个未知数x, y, z要求解，却有10000个方程，这显然是一个超定方程组。

1.4 小二乘法

如何求解这个超定方程组呢？当当当当，小二乘法闪亮登场了。假设n个同事有m个特征（年龄、职级等），收集这些特征组成m行n列的矩阵X，同事的工资为m行1列的矩阵Y，且满足m > n。我们要求解n个未知数W = [w1, w2...wn]和1个未知数b，满足方程组W * X + b = Y。
令预测值为 \hat Y ，那么有
MSE = \large\frac{1}{m}\normalsize\sum_{1}^{m}(Y_{i} - \hat Y_{i})^2

当我们的预测值完全等于真实值的时候，MSE等于0。根据上面的讲解，显然我们不太可能找到满足方程的解W，也就不可能准确地预测出Y，所以MSE不可能为0。但是我们想办法找出方程的近似解让MSE小，这就是小二乘法。

1.5 求近似解

如何求让MSE为零的近似解W呢？前方小段数学公式低能预警。

1. 使用MSE作为损失函数L
L = \large\frac{1}{m}\normalsize\sum_{1}^{m}(Y_{i} - \hat Y_{i})^2
2. 已知
\hat Y=WX + b

3. 对w求偏导，得
\large\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}W}\normalsize= -\large\frac{2}{m}\normalsize\sum_{1}^{m}(Y_{i} - WX_{i} - b)X_{i}

4. 对b求偏导，得
\large\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}b}\normalsize= -\large\frac{2}{m}\normalsize\sum_{1}^{m}(Y_{i} - WX_{i} - b)

所以，参数W的梯度就是式3，参数b的梯度就是式4。

1.6 梯度下降法

请参考我的另一篇文章，在这里就不赘述。链接如下：

1.7 批量梯度下降

遍历数据集中所有的样本，计算梯度并更新参数，记做1个epoch。经过若干个epochs之后，算法收敛或终止，计算量较大。

1.8 随机梯度下降

使用数据集中随机的一个样本，计算梯度并更新参数，直至算法收敛或终止，计算量较小。

2. 实现篇

本人用全宇宙简单的编程语言——Python实现了线性回归算法，没有依赖任何第三方库，便于学习和使用。简单说明一下实现过程，更详细的注释请参考本人github上的代码。

2.1 创建RegressionBase类

初始化，存储权重weights和偏置项bias。

class RegressionBase(object):
    def __init__(self):
        self.bias = None
        self.weights = None

2.2 创建LinearRegression类

初始化，继承RegressionBase类。

class LinearRegression(RegressionBase):
    def __init__(self):
        RegressionBase.__init__(self)

2.3 预测一个样本

def _predict(self, Xi):
    return sum(wi * xij for wi, xij in zip(self.weights, Xi)) + self.bias

2.4 计算梯度

根据损失函数的一阶导数计算梯度。

def _get_gradient_delta(self, Xi, yi):
    y_hat = self._predict(Xi)
    bias_grad_delta = yi - y_hat
    weights_grad_delta = [bias_grad_delta * Xij for Xij in Xi]
    return bias_grad_delta, weights_grad_delta

2.5 批量梯度下降

正态分布初始化weights，外层循环更新参数，内层循环计算梯度。

def _batch_gradient_descent(self, X, y, lr, epochs):
    m, n = len(X), len(X[])
    self.bias = 
    self.weights = [normalvariate(, 0.01) for _ in range(n)]

    for _ in range(epochs):
        bias_grad = 
        weights_grad = [ for _ in range(n)]

        for i in range(m):
            bias_grad_delta, weights_grad_delta = self._get_gradient_delta(
                X[i], y[i])
            bias_grad += bias_grad_delta
            weights_grad = [w_grad + w_grad_d for w_grad, w_grad_d
                            in zip(weights_grad, weights_grad_delta)]

        self.bias += lr * bias_grad * 2 / m
        self.weights = [w + lr * w_grad * 2 / m for w,
                        w_grad in zip(self.weights, weights_grad)]

2.6 随机梯度下降

正态分布初始化weights，外层循环迭代epochs，内层循环随机抽样计算梯度。

def _stochastic_gradient_descent(self, X, y, lr, epochs, sample_rate):
    m, n = len(X), len(X[])
    k = int(m * sample_rate)
    self.bias = 
    self.weights = [normalvariate(, 0.01) for _ in range(n)]

    for _ in range(epochs):
        for i in sample(range(m), k):
            bias_grad, weights_grad = self._get_gradient_delta(X[i], y[i])
            self.bias += lr * bias_grad
            self.weights = [w + lr * w_grad for w,
                            w_grad in zip(self.weights, weights_grad)]

2.7 训练模型

使用批量梯度下降或随机梯度下降训练模型。

def fit(self, X, y, lr, epochs, method="batch", sample_rate=1.0):
    assert method in ("batch", "stochastic")
    if method == "batch":
        self._batch_gradient_descent(X, y, lr, epochs)
    if method == "stochastic":
        self._stochastic_gradient_descent(X, y, lr, epochs, sample_rate)

2.8 预测多个样本

def predict(self, X):
    return [self._predict(xi) for xi in X]

3 效果评估

3.1 main函数

使用的波士顿房价数据集，按照7:3的比例拆分为训练集和测试集，训练模型，并统计准确度。

def main():
    @run_time
    def batch():
        print("Tesing the performance of LinearRegression(batch)...")
        reg = LinearRegression()
        reg.fit(X=X_train, y=y_train, lr=0.02, epochs=5000)
        get_r2(reg, X_test, y_test)

    @run_time
    def stochastic():
        print("Tesing the performance of LinearRegression(stochastic)...")
        reg = LinearRegression()
        reg.fit(X=X_train, y=y_train, lr=0.001, epochs=1000,
                method="stochastic", sample_rate=0.5)
        get_r2(reg, X_test, y_test)

    X, y = load_boston_house_prices()
    X = min_max_scale(X)
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=10)
    batch()
    stochastic()