11653 把小川同学发射到太阳上，需要几个皮球？

2020-03-23 04:14:13

　　近看到一个有趣的「超级弹力球」实验：把一个网球叠在篮球上，从半空释放，两球落地后，篮球会把网球弹得很高，很容易就砸到天花板上。

2 个皮球叠起来，能弹多高？https://www.zhihu.com/video/1225265553339768832

（视频截取自：https://www.youtube.com/watch?v=yhTz_6NFmV0）

　　如果在篮球上面叠一个网球，再在网球上面叠一个高尔夫球呢？这个实验只能在室外做，因为高尔夫球会被弹起好几层楼那么高！

3 个皮球叠起来，能弹多高？https://www.zhihu.com/video/1225260880696635392

（视频截取自：https://www.youtube.com/watch?v=2UHS883_P60）

　　为什么会有这么神奇的现象呢？我们来分析一下篮球与网球落地并弹起的过程。篮球触地前，篮球与网球都有一个向下的速度。篮球与地面相撞后，获得一个向上的速度 u_1 ，此时网球的速度还是 u_2 （这是一个负值，代表速度向下）。紧接着篮球又与网球相撞。由于网球的质量很小，碰撞后它将获得巨大的、向上的速度 v_2 ，于是弹起很高。

　　理论上，网球能够弹到多高呢？我们考虑理想的情况：

　　● 所有碰撞均为完全弹性碰撞；
　　● 篮球质量 m_1 远大于网球质量 m_2 ；
　　● 篮球和网球的大小都可以忽略，即认为它们从同一高度 h_0 释放。

　　篮球和网球触地前，它们的速度都是 $-v_0 = -\sqrt{2gh_0}$ 。篮球触地后，速度反向，所以 u_1=v_0 ，而网球的速度仍是 u_2=-v_0 。紧接着篮球与网球发生完全弹性碰撞。这里，当然可以用动量守恒与机械能守恒两个方程去解出碰撞后两球的速度，不过计算比较麻烦。有一种简单的思考方式：如果两球质量相差悬殊，那么碰撞后大球的速度会保持不变，而小球相对于大球的速度反向。碰撞前，网球相对于篮球的速度是 u_2 - u_1 = -2v_0 。碰撞后，篮球速度不变： v_1 = u_1 = v_0 ，而网球相对于篮球的速度变成 v_2 - v_1 = 2v_0 ，所以网球相对于地面的速度就是 v_2 = 3v_0 。这样，网球弹起的高度就会变成 $h = \frac{v_2^2}{2g} = 9h_0$ ，是释放高度的整整 9 倍！

　　如果网球上面又叠了一个高尔夫球呢？按照同样的思路，网球以 3v_0 的速度与以 -v_0 速度下落的高尔夫球相撞，二者的相对速度大小为 4v_0 。如果网球的质量远大于高尔夫球，那么相撞后高尔夫球将获得 7v_0 的速度，反弹到释放高度的 49 倍！

　　一般地，如果有个弹性超级好的皮球一同释放，每个球的质量都远大于它上面的球的质量，那么，上方的球在反弹后会获得 2^n-1 倍的速度，反弹到释放高度的 (2^n-1)^2 倍！具体地说，把 4 个皮球叠在一起，从胸前（约 1 米）释放，理论上上面的球可能反弹到 225 米高；把 5 个皮球叠在一起，则会反弹到 961 米高，超过了目前世界上高的建筑 —— 迪拜塔的高度（828 米）！

图片取自：https://static.emporis.com/assets-v2.3.11/img/buildings/the-tallest-buildings-in-the-world.jpg

　　当然，上面的情况还是太理想了一些：叠的皮球多了，若要求相邻的每两个球质量都要相差悬殊，那么下面的球将需要巨大的质量。如果我们想省一点质量怎么办呢？可以考虑「效率高」的场景：每次相撞后，下面的大球把所有的动量和动能都传递给上面的小球，即碰撞后大球静止， v_1 = 0 。这个场景要求两球的质量之比与初速度之比满足特定的关系，我们来计算一下。

　　设两球的质量满足 m_1 = am_2 ，碰撞前小球的速度 u_2 = -v_0 ，大球的速度 u_1 = kv_0 。碰撞后大球的速度 v_1=0 ，我们想求小球的速度 v_2 。由动量守恒与机械能守恒，可以列出方程组：

$\left\{ \begin{array}{l} m_1u_1 + m_2u_2 = m_2v_2 \\ m_1u_1^2 + m_2u_2^2 = m_2v_2^2 \end{array} \right. \\$

把 m_1 = am_2 ， u_2 = -v_0 ， u_1 = kv_0 都代入，得：

$\left\{ \begin{array}{l} (ak - 1)v_0 = v_2 \\ (ak^2 + 1)v_0^2 = v_2^2 \end{array} \right. \\$

解得 $a=\frac{k+2}{k}$ ， v_2 = (k+1)v_0 。

　　由此可知，第个皮球反弹后的速度会是 nv_0 ，而它与第 1 个皮球的质量之比应该是 $\frac{m_n}{m_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n+1} = \frac{2}{n(n+1)}$ 。比如，若把篮球、网球、高尔夫球叠在一起，三者反弹后的速度分别是 v_0, 2v_0, 3v_0 ，三者的质量比则是 $1 : \frac{1}{3} : \frac{1}{6} = 6 : 2 : 1$ 。反弹速度的增长变成了线性的，没有那么 exciting 了，但质量的增长也变得更现实了。

　　近，不少人在纷纷提出方案，让小川同学兑现「把自己发射到太阳上」的承诺，比如这个使用加农炮的方案：

如何用加农炮把特朗普发射到太阳上？_风闻社区user.guancha.cn

那么，如果要用「超级弹力球」把小川同学发射到太阳上，需要多少个皮球呢？

　　已知从地球到太阳的距离 $R = 1.5 \times 10^{11} \text{m}$ 。我们不妨把一系列皮球从迪拜塔顶（高 $h_0=828\text{m}$ ）释放，那么我们需要反弹高度等于释放高度的 $1.8 \times 10^8$ 倍，也就是反弹后速度等于反弹前速度的 $\sqrt{1.8 \times 10^8} \approx 1.3 \times 10^4$ 倍。按种理想情形，反弹速度指数增长，2 的 14 次方（16384）可以大于这个倍数，所以只需要 13 个皮球（小川同学本身作为第 14 个皮球）。不过，按此情形，下方的皮球需要的质量将是惊人的。若按第二种理想情形，反弹速度线性增长，这就需要 1.3 万个皮球了，似乎做不到。

　　但是，不要忘了，我们现在是在太阳系的尺度下考虑问题，在这么大的尺度下，地球的重力场早就不是恒定的了！好在「加农炮」方案的作者已经帮我们算出了把小川同学发射到太阳上所需的初速度： $26.42 \,\text{km/s}$ 。小川同学从迪拜塔顶自由落体到达地面时的速度为 $\sqrt{2gh_0} = 127 \,\text{m/s}$ ，二者之比仅为 207.4 倍。按种理想情形，2 的 8 次方（256）就大于这个倍数了，所以只需要 7 个皮球，但皮球的质量依然会是惊人的。按第二种理想情形，这需要 207 个皮球。设下方皮球的质量为 m_1 ，则 207 个皮球的总质量为 $\begin{align} & \sum_{n=1}^{207} \frac{2}{n(n+1)} m_1 \\ =\, & 2m_1 \sum_{n=1}^{207} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\ =\, & 2m_1 \left( 1 - \frac{1}{208} \right) \end{align} \\$

而第 208 个皮球（小川同学本身）的质量则是 $m_{208} = \frac{2}{208 \times 209} m_1$ ，前者是后者的 $207 \times 209 = 43,263$ 倍。假设小川同学的质量为 0.1 吨，那么只需要总质量 4000 多吨的皮球，就可以把他发射到太阳上去啦！